La magia delle simmetrie ci cattura
da quarantamila anni (e forse più)

Il prestigioso “The New York Times” ha pubblicato questa settimana  una segnalazione – non è un vero e proprio articolo – della sua critica d’arte Martha Schwendener che ha definito il “Ancient Art Archive” (l’Archivio di Arte Antica) uno dei 5 account Instagram che bisogna tenere d’occhio.

Ne ha ricordato in particolare due, la famosa grotta di Chauvet, in Francia, con i suoi meravigliosi animali e un altro molto meno conosciuto, il “Maze Panel” (il pannello del labirinto) in Arizona. E’ stato il fotografo Stephen Alvarez del “National Geographic” che ha dato vita al “Ancient Art Archive” documentando le pitture e i segni lasciati dai nostri antichi antenati.  La seconda segnalazione  è una incisione rupestre di un  labirinto  ed un serpente a due teste nei “Vermillion Cliffs National Monument” in Arizona. Gli affreschi nella grotta risalgono a 36.000 anni fa mentre le incisioni rupestri sono molto più recenti e si conoscono se non i nomi degli autori, la popolazione che li ha realizzati.

Le considerzioni di un matematico

Il parco è incredibile per la forma delle rocce e per il loro colore non solo vermiglio. I graffiti in questione si ritrovano su una grande roccia e si pensa che siano stati realizzati dalla popolazione degli Anasazi che vivevano in quei luoghi alcune migliaia di anni fa, circa 4000. Le immagini del labirinto, affreschi e graffiti, sono state viste da un matematico USA, esperto di simmetrie nei popoli delle Americhe del Nord e del Sud ed ha pensato che quella data di 36000 anni fa si riferisse anche al labirinto delle popolazioni indigene dell’Arizona. Ha osservato la simmetria del labirinto, ha capito quale era il gruppo di simmetria e pensava di aver trovato il più antico esempio di quella simmetria che in matematica si indica con la sigla PGG. Ed ha inviato in giro la notizia, capendo subito dopo che la datazione non riguardava il labirinto, molto comune come lui sa benissimo tra le antiche tribù di quelle zone.

“La simmetria è una materia vasta, importante nell’arte e in natura. La matematica ne è la radice, e sarebbe ben difficile trovare un campo migliore in cui dimostrare come operi il pensiero matematico.” Così concludeva nel 1951 il suo agile volume Symmetry il famoso matematico Hermann Weyl, congedandosi dal prestigioso Institute for Advanced Study di Princeton (Stati Uniti), l’istituto di ricerca creato per Albert Einstein. Restringendo il campo alle sole simmetrie su una superficie piana, tutte le civiltà che sono apparse sulla terra hanno utilizzato simmetrie nella realizzazione nei loro graffiti, delle loro decorazioni di pareti, pavimenti, superfici. Gli arabi raggiunsero il culmine nelle loro decorazioni simmetriche nelle moschee e nei grandi palazzi.

Come sanno bene i decoratori, non tutte le forme possibili di mattonelle si possono usare per ricoprire senza vuoti una parete. Sono pochi questi tipi, i triangoli equilateri, i quadrati e rettangoli in genere, i rombi, i parallelogrammi, gli esagoni. All’interno di ogni mattonella si inserisce un disegno che poi, ripetuto, riempirà tutta la superficie. Dalla combinazione dei diversi tipi di mattonelle e dalle simmetrie dei disegni inseriti nelle mattonelle stesse, si hanno diversi tipi di simmetria utilizzando i movimenti simmetrici del piano, le traslazioni, le riflessioni, le rotazioni e quelle che si chiamano glissoriflessioni (quando si cammina lasciando le impronte delle scarpe). Utilizzando tutti questi movimenti si ottengono precisamente 17 tipi diversi di simmetrie, che in matematica si chiamano i 17 gruppi cristallografici del piano (senza tener conto del colore, altrimenti la situazione si complica.

La struttura dei gruppi

Naturalmente nel corso dei secoli coloro che realizzavano le decorazioni non erano consapevoli della struttura di gruppo, delle possibili varianti delle simmetrie del piano: essi utilizzarono quelle proprietà in modo empirico, senza sapere che vi era una teoria, una struttura matematica che li comprendeva tutti (non ne avevano alcuna necessità, peraltro). Sarà solo alla fine dell’Ottocento che un matematico russo si accorgerà che alcune strutture – i cristalli in particolare – avevano le proprietà dei gruppi, e che le decorazioni come quelle dell’Alhambra a Granada avevano le stesse proprietà. Sarà poi il matematico George Polya, nel 1924, a individuare le caratteristiche di tutte le possibili simmetrie delle decorazioni piane, dette in matematica tassellazioni.  Un procedimento meccanico e ripetitivo. Proprio per questo motivo è chiaro che quando iniziarono a essere sperimentati i primi calcolatori grafici, una delle prime cose realizzate furono programmi per creare i 17 gruppi cristallografici del piano. Quel labirinto degli Indiani dell’Arizona è un gruppo PGG (P per piano, G per glissoriflessione).

Maestro dei disegni periodici è stato il grafico olandese Maurits Cornelis Escher. Come una singola immagine su una rocca dell’Arizona permette di ripercorrere le tracce dell’umanità per migliaia di anni.  E come si diffonde per la terra in tempi brevissimi tramite le tecnologie di oggi. Ma allora tutto è matematica? No di certo. Come ha detto Gombrich, non vi è pericolo che le risorse dell’autore di motivi, siano esaurite dai vincoli della geometria, perché ognuno dei gruppi e degli strumenti descritti dai matematici può essere combinato con altri in un’infinità di combinazioni e permutazioni. Sono infinite le possibilità!

 

https://www.nytimes.com/2021/03/03/arts/design/5-art-accounts-to-follow-on-instagram.html

https://www.blm.gov/national-conservation-lands/arizona/vermilion-cliffs